Shredinger tenglamasi va uning sodda masalalar uchun yechimi

Shredinger tenglamasi va uning sodda masalalar uchun yechimi Reja: Shredinger tenglamasi. Gamilton operatori. Statsionar holatlar uchun Shredinger tenglamasi Shredinger tenglamasi Ehtimollik oqimi va zichligi Shredinger tenglamasi. Avvalgi boblarda, zarrachaning biror vaqt momentidagi to'lqin funksiyasi malum bo'lgan holda, uning shu momentdagi har qanday fizik kattaligining ehtimollik taqsimotini aniqlash mumkin deb gap yuritgan edik. Hozircha eng muhim narsani, yani vaqt o'tishi bilan to'lqin funksiyasining o'zgarishini va shu bilan birga fizik kattalikning ehtimollik taqsimotlari vaqt davomida qanday o'zgarishini bilmaymiz. Aniqki, zarracha holatining vaqt bo'yicha o'zgarishi, unga ta'sir qiluvchi kuchga bog'liq bo'lishi kerak. Shuning uchun kvant mexanikada to'lqin funksiyasini vaqt bo'yicha o'zgarishini boshqaruvchi, klassik mexanikadagi Nyuton qonunlaridek, dinamik qonunni topish zarur. Shu sababli, klassik mexanikaning asosiy prinsiplarini yana bir marta eslab o'tish ortiqchalik qilmaydi. Klassik mexanikada zarrachaning holatlarini ta'riflovchi fizik kattaliklar ichida koordinata va impuls alohida rol o'ynaydi. Sababi, bu kattaliklarning biror vaqt momenti uchun berilishi, zarrachaning keyingi harakatini to'liq aniqlab beradi, bu esa bevosita Nyuton qonunlaridan kelib chiqadi: Bu tenglamalardan ko'rinib turibdiki, koordinata va impuls kattaliklarning vaqt bo'yicha o'zgarish tezligi shu kattaliklarning o'zi bilan aniqlanar ekan. Aynan shu bog'lanish tufayli zarrachaning turli vaqtdagi holatlari orasidagi sababiy bog'lanish mavjuddir, yani klassik mexanikada zarrachaning holati koordinata va impuls kattaliklari bilan to'liq aniqlanadi, yani bu ikki kattalikni biror momentda berilishi ularni istalgan momentda bir qiymatli aniqlash uchun etarlidir. Shuning uchun ham barcha fizik kattaliklar shu asosiy kattaliklar orqali ifodalanadi. Kvant mexanikada esa zarrachaning holati to'lqin funksiya orqali to'liq aniqlanadi. Agar tabiatda haqiqatan ham zarrachaning turli momentdagi holatlari orasida sababiy bog'lanish mavjud bo'lsa, bu hol to'lqin funksiyasining vaqt bo'yicha o'zgarishi orqali ifodalanishi kerak. Matematik jihatdan ψ(x, 0) va ψ(x, t) to'lqin funksiyalari orasidagi bog'lanishni aniqlash zarur va kvant mexanikada ushbu bog'lanish sababiyat prinsipining talabidan kelib chiqadi. Berilgan ψ funksiyani t =0 vaqtga cheksiz kichik yaqin bo'lgan Δt vaqt momentida ko'rib chiqaylik. Uni quyidagi qator ko'rinishida yozish mumkin: Yuqoridagi fikrlarga asosan kattalik ψ(x,0) dan aniqlanishi kerak, yani t =0 vaqt momenti ixtiyoriy olingani sababli, quyidagi munosabatga kelinadi. Bunda L operator - vaqt bo'yicha siljish operatori deyiladi va bu operator quyidagi postulatlar yordamida aniqlanadi. Superpozitsiya prinsipiga asosan bu operator chiziqli operator bo'lishi kerak. L operatorning tarkibida vaqt bo'yicha hosilalar va integrallar qatnashmasligi kerak. L operatorda vaqt parametr sifatida qatnashishi kerak. Yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi qidirilayotgan L operatorni to'g'ri tanlab olish uchun impulsi aniq qiymatga ega bo'lgan zarrachaning erkin harakatini ko'rib chiqaylik. Bunday harakatning to'lqin funksiyasi sifatida de-Broyl to'lqin funksiyasini tanlab olish mumkin, Bunda ψ funksiya uchun yozilgan ifoda quyidagi tenglamani ...