Xususiy funksiyalarning asosiy hossalari

xususiy funksiyalarning asosiy hossalari Reja: Xususiy funksiyalarning ortogonalligi va ortonormalligi O'lchash natijalarining ehtimolligini hisoblash Xususiy funksiyalarning ortogonalligi va ortonormalligi Hozir diskret spektrga ega bo'lgan o'z-o'ziga qo'shma operatorlarning bazi - bir muhim xossalari ko'rib chiqiladi. Masalani soddalashtirish maqsadida ikkita U1 va U2 kompleks funksiyalardan foydalaniladi. Agarda bo'lsa va integral o'zgaruvchilarning o'zgarishi butun soha bo'yicha bo'lsa, u holda bu funksiyalarni ortogonal funksiyalar deyiladi. O'z-o'ziga qo'shma operatorlarning bar xil xususiy qiymatlariga mos keluvchi xususiy funksiyalar ortogonal ekanligi ko'rsatiladi, yani (6.1.2.) shart bajarilishi kerak. Operatorning xususiy funksiyalari xossasiga binoan, Birinchi tenglamaning qo'shmasi hosil qilinadi: Bu yerda eslatib o'taylik tenglamaning ikkinchisini ga, (6.1.4.) tenglamani esa ψt ga ko'paytiriladi, keyin esa birinchi tenglamadan ikkinchisi ayiriladi. Natijada . Bu tenglikni o'zgaruvchilarni butun soha o'zgarishi bo'yicha integrallansa, natijani olinadi. L operatorlarning o'z-o'ziga qo'shmalik shartini hisobga olinsa, yani bo'ladi va (2.20) tenglikning chap tomoni nolga teng. Demak, ortogonallik sharti kelib chiqadi. Ikkinchi tomonidan diskret spektrga tegishli funksiyalar har doim kvadratik integrallanuvchidir, shu tufayli ularni 1 ga normallashtirish mumkin, yani Oxirgi tenglikni (2.21) tenglik bilan birlashtirib yozish mumkin. bunda δmn -Kroneker belgisi bo'lib, u quyidagicha aniqlanadi. (6.1.8.) shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar sistemasini ortogonal va normallashtirilgan funksiyalar sistemasi deyish mumkin. Shuni aytish kerakki, birgina Ln xususiy qiymatga bir nechta chiziqli bog'lanmagan xususiy funksiyalar mos kelishi n1 n2 n f mumkin. Bunday hollarda, agar bu chiziqli bog'lanmagan xususiy funksiyalarning soni f ta bo'lsa, unda Ln xususiy qiymatni f marta aynigan deyiladi va f karrali aynish to'g'risida gap yuritish mumkin. Modomiki, chiziqli operator ekan, unda shu funksiyalarning har qanday chiziqli kombinatsiyasi ham Ln bilan berilgan tenglamani qanoatlantiradi. Xususiy funksiyalarni shunday tanlash mumkinki, ulardan ortogonal bo'lgan xususiy funksiyalar sistemasini tuzish mumkin: Diskret spektrli operatorlar misolida ko'rilayotgan muammoning asosiy negizini bayon etgandan so'ng, olgan xulosalarni uzluksiz spektrli operatorlarga ham tatbiq qilish qiyin emas. Bunday umumlashtirish, matematikada isbotlangan uzluksiz spektrga mos bo'lgan xususiy funksiyalarning quyidagi xossalari bilan bog'liqdir. δ (L′− L) (6.1.11.) bunda δ(L′− L)- Dirak delta (δ) funksiyasi deyiladi. δ - funksiya odatdagi funksiya emas, uni rasmiy jihatdan quyidagicha tushuntirish mumkin: ammo uni shunday g'alati ko'rinishga egaligiga qaramay, uning uchun ushbu shart bajariladi: ta'rifdan ajoyib xususiyat kelib chiqadi, agar L = L′ nuqta [a,b] intervalning tashqarida bo'lsa, ifodalanadi. Agar L = L′nuqta [a,b]intervalning ichida joylashgan bo'lsa, kelib chiqadi. Demak, uzluksiz spektr uchun δ- funksiya diskret spektrdagi δmn Kroneker belgisi rolini o'ynaydi. Matematikadan malumki, faqat diskret spektrga ega bo'lgan o'z-o'ziga qo'shma operatorlarning barcha ortonormallashgan xususiy funksiyalari Gilbert fazosida to'liq to'plamni tashkil etadi. Soddaroq qilib aytganda, istalgan kvadratik ...